Como resolver uma equação quadrática

Resolver equações quadráticas

• A. O que é uma equação quadrática?
• B. Resolver equações quadráticas
• C. Resolva mentalmente equações quadráticas
• D. Usando a Fórmula Viet-et
  • Teorema de Vieta
  • Teorema inverso de Viet-et
• E. Exemplo de resolução de equação quadrática
• F. Fatoração
• G. Resolução de equações quadráticas contendo parâmetros

A. O que é uma equação quadrática?

Uma equação quadrática é uma equação da forma (a≠0) (1).

Como x é a variável desconhecida e há apenas 1 incógnita, ela também é chamada de equação de "variável única". Os números a, b e c são números conhecidos, chamados coeficientes da equação; podem ser distinguidos chamando-os respectivamente: coeficiente quadrático, coeficiente de primeira ordem e coeficiente livre ou constante.

Uma equação quadrática é um tipo de equação polinomial e contém apenas potências de x, que são números naturais.

Resolver uma equação quadrática é encontrar os valores de x de modo que quando x é substituído na equação (1), ax2+bx+c=0 seja satisfeito. Existem quatro maneiras comuns de resolver equações quadráticas: fatoração; método da raiz quadrada; use a fórmula da raiz; gráfico.

B. Resolver equações quadráticas

Etapa 1: Calcular Δ=b2-4ac

Etapa 2: Compare Δ com 0

• Δ < 0=""> A equação (1) não tem solução
• Δ = 0 => a equação (1) tem solução dupla
• Δ > 0 => a equação (1) tem 2 soluções distintas, usamos a seguinte fórmula de solução :

e

C. Resolva mentalmente equações quadráticas

• Se a equação tiver a + b + c = 0, então a equação tem uma solução.
• Se a equação tem a - b + c = 0, então a equação tem a solução:

D. Usando a Fórmula Viet-et

Teorema de Vieta

Se é a solução da equação então

Teorema inverso de Viet-et

Se dois números existem, então eles são soluções para a equação , (existe quando)

E. Exemplo de resolução de equação quadrática

Exemplo 1: Resolva a seguinte equação quadrática: x2 - 49x - 50 = 0

Guia de soluções

Método 1: Use a fórmula da raiz (a = 1; b = -49; c = -50)

Como ∆ > 0, a equação tem duas soluções distintas.

Método 2: Cálculo mental

Porque a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Então a equação tem duas soluções.

Método 3:

De acordo com o teorema de Viet, temos:

Portanto a equação tem duas soluções:

Exemplo 2: Resolva a equação 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => a equação dada (2) tem 2 soluções distintas.

e

Você também pode calcular a solução rapidamente calculando mentalmente, porque você vê que 4-(-2)+6=0, então x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. A solução é a mesma acima.

Exemplo 3: Resolva a equação 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Calcule Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) tem 2 soluções distintas:

e

Para verificar se você calculou a solução corretamente é muito fácil, basta substituir x1, x2 na equação 3, se o resultado for 0, então está correto. Por exemplo, substitua x1, 2,32-7,3+3=0.

Exemplo 4: Resolva a equação 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Calcule Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> a equação (4) não tem solução.

Exemplo 5: Resolva a equação x2 – 4x +4 = 0 (5)

Calcule Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => a equação (5) tem uma solução dupla:

Na verdade, se você for rápido, também poderá ver que esta é a identidade memorável (ab)2 = a2 - 2ab + b2, então é fácil reescrever (5) como (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Fatoração de polinômios

Se a equação (1) tiver duas soluções distintas x1, x2, você sempre pode escrevê-la na seguinte forma: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Voltando à equação (2), após encontrar 2 soluções x1, x2 você pode escrevê-la na forma: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Resolução de equações quadráticas contendo parâmetros

1. Equação com solução

2. Equação sem solução

3. A equação tem uma solução única (solução dupla ou duas soluções iguais)

4. A equação tem duas soluções distintas (diferentes).

5. A equação tem duas soluções com o mesmo sinal.

6. A equação tem duas soluções com sinais opostos.

7. A equação tem duas raízes positivas (duas raízes maiores que 0)

8. A equação tem duas raízes negativas (duas raízes menores que 0)

9. A equação tem duas soluções opostas.

10. Duas soluções inversas

Coisas para lembrar:

Junto com a equação quadrática, há também o teorema de Viet com muitas aplicações, como calcular mentalmente as raízes da equação quadrática mencionada acima, encontrar 2 números sabendo a soma e o produto, determinar os sinais das raízes ou fatorar. Todo esse conhecimento necessário será associado a você no processo de aprendizagem de álgebra, ou nos exercícios de resolução e discussão de equações quadráticas mais tarde, então você precisa memorizá-lo cuidadosamente e praticá-lo com fluência.

Se você pretende estudar programação , também precisa ter conhecimentos básicos de matemática, até mesmo avançados, dependendo do projeto que você fará.