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Resolver equações quadráticas
Uma equação quadrática é uma equação da forma (a≠0) (1).
Como x é a variável desconhecida e há apenas 1 incógnita, ela também é chamada de equação de "variável única". Os números a, b e c são números conhecidos, chamados coeficientes da equação; podem ser distinguidos chamando-os respectivamente: coeficiente quadrático, coeficiente de primeira ordem e coeficiente livre ou constante.
Uma equação quadrática é um tipo de equação polinomial e contém apenas potências de x, que são números naturais.
Resolver uma equação quadrática é encontrar os valores de x de modo que quando x é substituído na equação (1), ax2+bx+c=0 seja satisfeito. Existem quatro maneiras comuns de resolver equações quadráticas: fatoração; método da raiz quadrada; use a fórmula da raiz; gráfico.
Etapa 1: Calcular Δ=b2-4ac
Etapa 2: Compare Δ com 0
e
Se é a solução da equação então
Se dois números existem, então eles são soluções para a equação , (existe quando)
Exemplo 1: Resolva a seguinte equação quadrática: x2 - 49x - 50 = 0
Guia de soluções
Método 1: Use a fórmula da raiz (a = 1; b = -49; c = -50)
Como ∆ > 0, a equação tem duas soluções distintas.
Método 2: Cálculo mental
Porque a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0
Então a equação tem duas soluções.
Método 3:
De acordo com o teorema de Viet, temos:
Portanto a equação tem duas soluções:
Exemplo 2: Resolva a equação 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)
Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => a equação dada (2) tem 2 soluções distintas.
e
Você também pode calcular a solução rapidamente calculando mentalmente, porque você vê que 4-(-2)+6=0, então x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. A solução é a mesma acima.
Exemplo 3: Resolva a equação 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)
Calcule Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) tem 2 soluções distintas:
e
Para verificar se você calculou a solução corretamente é muito fácil, basta substituir x1, x2 na equação 3, se o resultado for 0, então está correto. Por exemplo, substitua x1, 2,32-7,3+3=0.
Exemplo 4: Resolva a equação 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)
Calcule Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> a equação (4) não tem solução.
Exemplo 5: Resolva a equação x2 – 4x +4 = 0 (5)
Calcule Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => a equação (5) tem uma solução dupla:
Na verdade, se você for rápido, também poderá ver que esta é a identidade memorável (ab)2 = a2 - 2ab + b2, então é fácil reescrever (5) como (x - 2)2 = 0 <=> x=2.
Se a equação (1) tiver duas soluções distintas x1, x2, você sempre pode escrevê-la na seguinte forma: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.
Voltando à equação (2), após encontrar 2 soluções x1, x2 você pode escrevê-la na forma: 4(x-3/2)(x+1)=0.
1. Equação com solução
2. Equação sem solução
3. A equação tem uma solução única (solução dupla ou duas soluções iguais)
4. A equação tem duas soluções distintas (diferentes).
5. A equação tem duas soluções com o mesmo sinal.
6. A equação tem duas soluções com sinais opostos.
7. A equação tem duas raízes positivas (duas raízes maiores que 0)
8. A equação tem duas raízes negativas (duas raízes menores que 0)
9. A equação tem duas soluções opostas.
10. Duas soluções inversas
Coisas para lembrar:
Junto com a equação quadrática, há também o teorema de Viet com muitas aplicações, como calcular mentalmente as raízes da equação quadrática mencionada acima, encontrar 2 números sabendo a soma e o produto, determinar os sinais das raízes ou fatorar. Todo esse conhecimento necessário será associado a você no processo de aprendizagem de álgebra, ou nos exercícios de resolução e discussão de equações quadráticas mais tarde, então você precisa memorizá-lo cuidadosamente e praticá-lo com fluência.
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