O ortocentro de um triângulo é a intersecção das três altitudes , o que significa que a intersecção das linhas de cada vértice do triângulo ao seu lado oposto forma um ângulo reto. O comprimento da altitude é a distância entre o topo e a base.
Ortocentro de um triângulo
As três alturas de um triângulo se encontram em um ponto. Esse ponto é chamado de ortocentro do triângulo .
Especificamente: No desenho estão as alturas, o ortocentro do triângulo.
Para determinar o ortocentro de um triângulo, encontramos a intersecção das duas altitudes nesse triângulo.
Nota: a) Se o triângulo for um triângulo acutângulo, o ortocentro estará dentro do triângulo.
b) Se o triângulo for retângulo em então o ortocentro coincide com o ponto .
c) Se um triângulo é um triângulo obtusângulo, então o ortocentro está fora do triângulo.
Propriedade 1: Em um triângulo equilátero, o centroide, o ortocentro, um ponto equidistante dos três vértices do triângulo, um ponto interno ao triângulo e equidistante dos três lados do triângulo são quatro pontos coincidentes.
Propriedade 2: O ortocentro corta a bissetriz perpendicular de dois lados em dois segmentos de igual comprimento. Isso significa que o ortocentro está à mesma distância dos vértices do triângulo.
Propriedade 3: O ortocentro é o centro do circuncírculo de um triângulo, o que significa que se desenharmos um círculo passando pelos três vértices de um triângulo, o ortocentro será o centro desse círculo.
Propriedade 4: O ortocentro de um triângulo agudo fica dentro do triângulo, enquanto o ortocentro de um triângulo obtuso fica fora do triângulo.
Propriedade 5: O ortocentro de um triângulo retângulo coincide com o vértice do ângulo reto desse triângulo retângulo.
Propriedade 6: O ortocentro é o único ponto em um triângulo tal que, se traçarmos linhas do ortocentro até os vértices do triângulo, a soma dos comprimentos dessas linhas será a menor. Isso significa que o ortocentro está mais próximo dos vértices do triângulo do que qualquer outro ponto.
Propriedade 7: O ortocentro é também o centro do circuncírculo do triângulo, ou seja, o maior círculo que pode ser desenhado através dos três vértices do triângulo.
Por exemplo: Dado não quadrado. Chame seu ortocentro. Mostre as alturas do triângulo. A partir daí, indique o ortocentro desse triângulo.
Guia de soluções
Ilustração
Sejam os pés das perpendiculares traçadas a partir de ΔABC.
Considere ΔHBC com:
então AD é a altura de H a BC.
em F, então BA é a altitude de B a HC
em E, então CA é a altura de C a HB.
se cruzam em A, então A é o ortocentro de ΔHCB.
Por exemplo: Dado um triângulo retângulo com altura . Seja o ponto médio de , o ponto médio de é . Determine o ortocentro do triângulo.
Guia de soluções
Considere o subproblema se o triângulo tem e AC como pontos médios respectivamente, então e .
Na verdade, no raio oposto do raio, tome um ponto tal que
Considere o triângulo AMN e o triângulo CPN.
(oposto)
, (dois lados e dois ângulos correspondentes)
Dois ângulos estão em posições alternadas então
=>(dois ângulos internos alternados)
Considere o triângulo BMC e o triângulo PCM.
(cmt)
MC é uma vantagem comum
, (lados e ângulos correspondentes)
Dois ângulos estão em posições alternadas então
Temos novamente
Considere o triângulo HAB com:
(como comprovado acima)
Considere o triângulo ADE.
por outro lado e
é a altura do triângulo ADE
C é a intersecção de CA e CC
=> C é o ortocentro do triângulo ADE
Por exemplo: dada uma escala em A, a altitude intercepta a mediana em . Provar e calcular?
Instruir
Ilustração
Porque o saldo está em A e AM é a mediana
⇒ AM também é a altitude correspondente a BC
em M.
Por outro lado, e então K é o ortocentro.
Portanto, K pertence à altitude de C de ∆ABC.
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