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Ainda não se sabe se as alegações do Alibaba se tornarão realidade, mas parece que o ChatGPT e o DeepSeek agora têm um novo concorrente digno.
O que é um número quadrado perfeito? Como reconhecer e exemplos detalhados
Um número quadrado perfeito é um número que é igual ao quadrado de um inteiro. Vamos aprender sobre as propriedades, reconhecimento e cálculos dos números quadrados no artigo abaixo para entender melhor esse tipo de número.
Índice
- O que é um número quadrado perfeito?
- Números quadrados
- Exemplos de números quadrados perfeitos
- Exercícios sobre números quadrados
O que é um número quadrado perfeito?
Um número quadrado perfeito é um número que é igual ao quadrado exato de um inteiro. Ou, em termos mais simples, um número quadrado perfeito é um número natural cuja raiz quadrada também é um número natural.
Os inteiros incluem inteiros positivos (1, 2, 3,…), inteiros negativos (-1, -2, -3,…) e 0. O conjunto de inteiros é denotado por Z.
Entretanto, a raiz quadrada de um número quadrado tem apenas valores naturais, ou seja, inteiros positivos.
Por exemplo:
O número 4 é um quadrado perfeito porque o quadrado do número 2 é 4.
9 é um número quadrado perfeito (porque 9 é igual ao quadrado de 3).
Como identificar números quadrados
1. Observe o último dígito : O último dígito de um número quadrado perfeito é 0, 1, 4, 5, 6, 9. Números que terminam em 2, 3, 7, 8 não são chamados de números quadrados perfeitos.
2. Observe o último dígito: Um número quadrado perfeito só pode ter 1 de 2 formas: 4n ou 4n + 1, nenhum número quadrado perfeito tem a forma 4n + 2 ou 4n + 3 (com n € N).
Por exemplo: Suponha que n = 1, então o número ao quadrado está no formato 4 x n = 4. Ou n = 2, então o número ao quadrado está no formato 4 x 2 + 1 = 9.
Não pode estar no formato 4 x 2 + 2 = 10 ou 4 x 2 + 3 = 11.
3. O dígito das dezenas de um número quadrado perfeito é par se o último dígito for 1 ou 9.
Por exemplo: O quadrado número 81 (quadrado de 9).
4. O algarismo das dezenas de um número quadrado perfeito terminado em 5 é 2.
Por exemplo: O quadrado número 225 (quadrado de 15).
5. Se o número quadrado perfeito termina em 4, o algarismo das dezenas é um número par.
Por exemplo: O quadrado número 64 (quadrado de 8).
6. Se o número quadrado termina em 6, o algarismo das dezenas é ímpar.
Por exemplo: O quadrado número 16 (quadrado de 4).
7. Quando fatorado em números primos, um número quadrado perfeito contém apenas fatores primos com expoentes pares.
Por exemplo: O número quadrado 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4.
Divisibilidade de números quadrados
Um número quadrado perfeito divisível por um número primo p também será divisível por p^2, e vice-versa.
- Um número quadrado perfeito divisível por 2 é divisível por 2^2 = 4.
- Um número quadrado perfeito divisível por 3 é divisível por 3^2 = 9.
- Um número quadrado perfeito divisível por 5 é divisível por 5^2 = 25.
- Um número quadrado perfeito divisível por 8 (= 2^3) também é divisível por 2^4 = 16 (escrito como uma potência de um número).
- O número quadrado 36 ( 6^2 ) é divisível por 2 => 36 é divisível por 4 ( 2^2 )
- O número quadrado 144 (12^2) é divisível por 3 (144:3=48) => 144 é divisível por 9 (144:9=16)
Menor número quadrado
O menor número quadrado perfeito no conjunto de números quadrados perfeitos é 0. No intervalo numérico de 0 a 100, há 10 números quadrados perfeitos menores que 100. Eles incluem os números: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
Maior número quadrado
- O maior número quadrado de 1 dígito é 9.
- O maior número quadrado de dois dígitos é 81.
- O maior número quadrado de 3 dígitos é 312.
- O maior número quadrado de 4 dígitos é 9801
- O maior número quadrado de 5 dígitos é 99856
Constante idêntica para calcular a diferença de dois números quadrados
Por exemplo:
Características dos números quadrados
- Fórmula para calcular a diferença de dois números quadrados: a^2 - b^2 = (ab)(a+b).
- Se um número quadrado é divisível por um número primo, então ele também será divisível pelo quadrado desse número primo.
Por exemplo: O número quadrado 18 é divisível por 3, então ele também será divisível pelo quadrado de 3, que é 9.
Números quadrados
Existem 2 tipos de números quadrados:
| Número quadrado par | Número quadrado ímpar |
| Um número quadrado perfeito é par se, e somente se, for o quadrado de um inteiro par. | Um número quadrado perfeito é ímpar se, e somente se, for o quadrado de um inteiro ímpar. |
| Por exemplo, o número 36 é um número quadrado par porque é o quadrado do número 6 (um número par). | Por exemplo, o número 25 é um número quadrado par porque é o quadrado do número 5 (um número ímpar). |
Exemplos de números quadrados perfeitos
Os números 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,100, … são todos números quadrados perfeitos.
4 = 2² é um número quadrado par.
9 = 3² é um número quadrado ímpar.
16 = 4² é um número quadrado par.
25 = 5² é um número quadrado ímpar.
36 = 6² é um número quadrado par.
49 = 7² é um número quadrado ímpar.
64 = 8² é um número quadrado par.
81 = 9² é um número quadrado ímpar.
100 = 10² é um número quadrado par.
Nota: Os números 0 e 1 também são números quadrados.
Exercícios sobre números quadrados
Lição 1 : Na seguinte série de números, qual é um número quadrado perfeito?: 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560.
Solução: Os números quadrados perfeitos são 9 (3²), 81 (9²), 121 (11²), 441 (21²).
Lição 2: Prove que o número 1234567890 não é um número quadrado perfeito.
Solução: O número 1234567890 é divisível por 5 (porque o último dígito é 0), mas não é divisível por 25 (porque os dois últimos dígitos são 90). Portanto, o número 1234567890 não é um número quadrado perfeito.
Lição 3 : Prove que o número B = 4n^4 + 4n³ + n² é um quadrado perfeito para todo inteiro positivo n.
Solução:
B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²
Vemos que B pode ser representado como o produto de dois quadrados. Ou B = [n(2n+1)]², e n(2n + 1) é um inteiro. Portanto, a conclusão é que B é um número quadrado perfeito.
Lição 4:
Encontre um número natural n tal que o seguinte número seja um quadrado perfeito: B = n² + 4n + 1.
Solução:
Como o número B é um quadrado perfeito, definimos n² + 4n + 1 = b²
= 4n²+16n+4=4b²
= (4n²+16n+16)-16+4=4b²
= (2n+4)²- 4b² = 12
= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12
Observe que 2n+4+2b é 2n+4-2b, e todos esses são números inteiros positivos. Então podemos encontrar os pares de números correspondentes: (12, 1), (6, 2) e (4, 3). Você precisa considerar cada caso para encontrar n e b. Especificamente:
- Caso 1: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4, b = 11/4
- Caso 2: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
- Caso 3: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4, b = 1/4
Mas n é um número natural, então somente as respostas n = 0, b = 1 são satisfatórias. E n = 0, então o número quadrado B = 1.
Esperamos que o artigo acima tenha fornecido informações úteis para ajudar você a saber o que é um número quadrado perfeito, se 0 é um número quadrado perfeito, bem como as propriedades e características dos números quadrados perfeitos. A partir daí, você terá mais conhecimento para resolver problemas e questões sobre números quadrados.
Além dos números quadrados, você pode aprender sobre outros tipos de números em matemática, como números mistos , frações ...
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