Definições e fórmulas de números racionais e irracionais são conhecimentos importantes em matemática que os alunos devem entender para ter uma base matemática sólida. O artigo a seguir apresenta a definição, as propriedades e as formas matemáticas dos números racionais e irracionais. Por favor, consulte-o.
Números racionais, números irracionais
- Números racionais são o conjunto de números que podem ser escritos como frações (quocientes). Ou seja, um número racional pode ser representado por uma dízima periódica infinita.
- Os números racionais são escritos como , onde a e b são inteiros, mas b deve ser diferente de 0.
- é o conjunto dos números racionais.
=> Conjunto dos números racionais: .
Por exemplo: , , … são números racionais.
Por exemplo: Temos números racionais.
Nós temos:
Comentário: são todos números racionais.
Os números racionais são divididos em dois tipos: números racionais negativos e números racionais positivos. Especificamente:
Nota: O número 0 não é um número racional negativo nem um número racional positivo.
Natureza
- Para representar números racionais na reta numérica, seguimos estes fatores:
Passo 1: Escreva o número racional como uma fração
Etapa 2: divida o segmento de reta unitário em b partes iguais para obter um novo segmento unitário, que é a unidade antiga.
Etapa 3: O número racional é representado pelo ponto A estando a uma distância de uma nova unidade do ponto 0.
Por exemplo: Na figura, o ponto P representa o número racional:
Instruir
O segmento de reta unitário é dividido em 6 partes iguais (a nova unidade é 1/6 da unidade antiga)
O ponto P está localizado a uma distância de 7 novas unidades do ponto O.
E o ponto P está à direita do ponto O, então P é um número racional positivo.
Então P representa um número racional.
i) Regras para somar e subtrair dois números racionais
Podemos adicionar e subtrair dois números racionais x e y escrevendo-os como duas frações e então aplicando as regras para adicionar e subtrair frações.
Conosco temos:
ii) Propriedades
- A adição de números racionais tem as propriedades da adição de frações: Comutativa, associativa, adição com 0, adição com opostos.
- Temos:
a) Propriedade comutativa:
b) Propriedades associativas:
c) Adicione 0:
d) Some o número oposto:
iii, Regras de transição
Ao mover um termo de um lado de uma equação para o outro, devemos mudar o sinal desse termo.
Em Q, temos uma soma algébrica, na qual podemos trocar termos, colocar parênteses para agrupar termos arbitrariamente, como somas algébricas no conjunto de inteiros.
i) Regras para multiplicação e divisão de dois números racionais
- Podemos multiplicar e dividir dois números racionais escrevendo-os como frações e então aplicando as regras para multiplicação e divisão de frações.
Por exemplo:
Multiplique números racionais:
Dividir números racionais:
ii) Propriedades
- A multiplicação de números racionais também tem as mesmas propriedades da multiplicação de frações: comutativa, associativa, multiplicação por 1 e propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.
- Todo número racional diferente de zero tem um inverso.
- Temos:
- O valor absoluto de um número racional a, denotado por , é a distância do ponto a ao ponto 0 na reta numérica.
Por exemplo:
(Porque )
(Porque )
- Com quaisquer 2 números racionais sempre temos ou ou .
- Para comparar dois números racionais fazemos o seguinte:
Por exemplo: Compare dois números racionais: e
Nós temos:
Porque é bom.
Fórmulas para calcular potências de números racionais que você precisa lembrar
Por exemplo: 3,145248… é um número irracional.
O conjunto dos números irracionais é um conjunto incontável.
Por exemplo:
Números irracionais: 0,1010010001000010000010000001… (este é um decimal infinito não periódico)
Número de raízes quadradas: √2 (raiz quadrada)
Pi (π): 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288…..
Símbolos de conjuntos de números:
Temos: R = Q ∪ I.
Conjunto N; Z ; P; R.
Então a relação de inclusão entre os conjuntos de números é: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Formulário 1: Realizar cálculos envolvendo números racionais
Método de solução: Para resolver exercícios sobre como realizar cálculos relacionados a números racionais, primeiro converta os números racionais em frações e, em seguida, aplique as regras de cálculo com adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais.
Exemplo: Calcular
Responder:
Formulário 2: Representação de números racionais na reta numérica
Solução: Você precisa determinar se o número racional é um número racional positivo ou um número racional negativo e, em seguida, continuar com os próximos passos:
Formulário 3: Comparando números racionais
Solução: Converta os números racionais fornecidos em frações com o mesmo denominador positivo e compare os numeradores. Mais avançados, podemos comparar com frações intermediárias para encontrar a resposta.
Formulário 4: Determine se um número racional é negativo, positivo ou 0
Método de solução: Para resolver exercícios do tipo 4, os alunos precisam se basear nas propriedades dos números racionais para determinar se o número racional é negativo, positivo ou 0.
Por exemplo: Dado o número racional x = (a – 25)/29, determine o valor de a de modo que:
Responder:
x é um número negativo => (a – 25)/29 < 0=""> a – 25 < 0=""> a <>
x é um número positivo => (a – 25)/29 > 0 => a – 25 > 0 => a > 25
x = 0 => (a – 25)/29 =0 0 => a – 25 = 0 => a = 25
Formulário 5: Encontre números racionais no intervalo de acordo com as condições fornecidas
Solução: Se a questão exigir que se encontre números racionais dentro de um intervalo de acordo com as condições fornecidas, precisamos colocar os números racionais no mesmo numerador ou denominador para encontrar a resposta.
Exemplo: Encontre o valor de m para maior que e menor que
Guia de respostas
Converta frações em denominadores comuns da seguinte maneira:
Denominador comum: 18
De acordo com a questão temos:
Formulário 6: Encontre x com números racionais
Método para resolver problemas de matemática: Para problemas de matemática para encontrar x com números racionais, é necessário realizar a redução do denominador comum e converter x para um lado e os termos restantes para 1. A partir daí, calcule o valor de x
Por exemplo: Encontre x conhecendo x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8
Responder:
x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8
=> x . (2/ 3) = 1/ 8 + 5/ 6
=> x = 46/ 48 : 2/ 3
=> x = 23 . 3 / 24 . 2
=> 23/16
Formulário 7: Encontre um para que a expressão seja um inteiro
Método para resolver problemas de matemática: Para o problema de encontrar a, se o numerador não contiver a, precisamos usar o sinal de divisibilidade. Se o numerador contiver a, use o sinal de divisibilidade ou separe o numerador pelo denominador. Se o problema exigir que você encontre a e b ao mesmo tempo, agrupe a ou b e converta-os para a forma fracionária para cálculo.
Exemplo: Encontre o inteiro a com a condição de que 8/(a – 1) seja um inteiro
Responder:
Condição: a – 1 ≠ 0 => a ≠ 1
Seja a um inteiro => 8 é divisível por (a – 1)
=> (a – 1) é um fator de 8 => U(8) = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}
=> (a – 1) = {-8, -4, -2, -1, 2, 4, 8}
=> a = {-7, -3, -1, 0, 3, 5, 9}
Espero que o artigo acima tenha ajudado você a entender o que são números racionais, o que são números irracionais, tipos de números racionais, o que são símbolos de números racionais e como reconhecer números racionais para resolver problemas facilmente.
Além do conhecimento sobre números irracionais e números racionais acima, você pode consultar alguns outros conhecimentos matemáticos, como frações , números mistos , decimais ...
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