O que é um número racional? O que é um número irracional?

Definições e fórmulas de números racionais e irracionais são conhecimentos importantes em matemática que os alunos devem entender para ter uma base matemática sólida. O artigo a seguir apresenta a definição, as propriedades e as formas matemáticas dos números racionais e irracionais. Por favor, consulte-o.

Números racionais, números irracionais

• O que é um número racional?
  • Classificação dos números racionais
  • Representando números racionais em uma reta numérica
  • Adicionar e subtrair números racionais
  • Multiplicar e dividir números racionais
  • Valor absoluto de um número racional
  • Compare dois números racionais
  • Fórmula para calcular a potência de um número racional
• O que é um número irracional?
  • Conceito de números irracionais
  • Propriedades dos números irracionais
• Qual é a diferença entre números racionais e irracionais?
• Relação de conjuntos de números
• Exercícios sobre números racionais

O que é um número racional?

- Números racionais são o conjunto de números que podem ser escritos como frações (quocientes). Ou seja, um número racional pode ser representado por uma dízima periódica infinita.

- Os números racionais são escritos como , onde a e b são inteiros, mas b deve ser diferente de 0.

- é o conjunto dos números racionais.

=> Conjunto dos números racionais: .

Por exemplo: , , … são números racionais.

• Qualquer inteiro a é um número racional porque o inteiro a pode ser escrito na forma .

Por exemplo: Temos números racionais.

Nós temos:

Comentário: são todos números racionais.

Classificação dos números racionais

Os números racionais são divididos em dois tipos: números racionais negativos e números racionais positivos. Especificamente:

• Números racionais negativos: inclua números racionais menores que 0.
• Números racionais positivos: inclua números racionais maiores que 0.

Nota: O número 0 não é um número racional negativo nem um número racional positivo.

Natureza

• O conjunto dos números racionais é um conjunto contável.
• Propriedade comutativa:
• Propriedade de adição com 0:
• Propriedades combinadas:

Representando números racionais em uma reta numérica

- Para representar números racionais na reta numérica, seguimos estes fatores:

Passo 1: Escreva o número racional como uma fração

Etapa 2: divida o segmento de reta unitário em b partes iguais para obter um novo segmento unitário, que é a unidade antiga.

Etapa 3: O número racional é representado pelo ponto A estando a uma distância de uma nova unidade do ponto 0.

• A está à esquerda de 0 se for um número negativo.
• A está à direita de 0 se for um número positivo.

Por exemplo: Na figura, o ponto P representa o número racional:

Instruir

O segmento de reta unitário é dividido em 6 partes iguais (a nova unidade é 1/6 da unidade antiga)

O ponto P está localizado a uma distância de 7 novas unidades do ponto O.

E o ponto P está à direita do ponto O, então P é um número racional positivo.

Então P representa um número racional.

Adicionar e subtrair números racionais

i) Regras para somar e subtrair dois números racionais

Podemos adicionar e subtrair dois números racionais x e y escrevendo-os como duas frações e então aplicando as regras para adicionar e subtrair frações.

Conosco temos:

ii) Propriedades

- A adição de números racionais tem as propriedades da adição de frações: Comutativa, associativa, adição com 0, adição com opostos.

- Temos:

a) Propriedade comutativa:

b) Propriedades associativas:

c) Adicione 0:

d) Some o número oposto:

iii, Regras de transição

Ao mover um termo de um lado de uma equação para o outro, devemos mudar o sinal desse termo.

Em Q, temos uma soma algébrica, na qual podemos trocar termos, colocar parênteses para agrupar termos arbitrariamente, como somas algébricas no conjunto de inteiros.

• Com se então
• Conosco temos:

Multiplicar e dividir números racionais

i) Regras para multiplicação e divisão de dois números racionais

- Podemos multiplicar e dividir dois números racionais escrevendo-os como frações e então aplicando as regras para multiplicação e divisão de frações.

• Conosco temos:
• Conosco temos:

Por exemplo:

Multiplique números racionais: 

Dividir números racionais: 

ii) Propriedades

- A multiplicação de números racionais também tem as mesmas propriedades da multiplicação de frações: comutativa, associativa, multiplicação por 1 e propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.

- Todo número racional diferente de zero tem um inverso.

- Temos:

• Propriedade comutativa: .
• Propriedades associativas: .
• Propriedade da multiplicação por 1: .
• Propriedades distributivas: .
• Com . O recíproco de a é .

Valor absoluto de um número racional

- O valor absoluto de um número racional a, denotado por , é a distância do ponto a ao ponto 0 na reta numérica.

Por exemplo:

(Porque )

(Porque )

Compare dois números racionais

- Com quaisquer 2 números racionais sempre temos ou ou .

- Para comparar dois números racionais fazemos o seguinte:

• Escreva como 2 frações com o mesmo denominador positivo:
• Compare os numeradores como inteiros a, b:

Por exemplo: Compare dois números racionais: e

Nós temos:

Porque é bom.

Fórmula para calcular a potência de um número racional

Fórmulas para calcular potências de números racionais que você precisa lembrar

• Produto de duas potências de mesma base:
• Poder do poder
• Poder de um produto
• Potência de um quociente

O que é um número irracional?

Conceito de números irracionais

• Ao mencionar números racionais, não se pode deixar de mencionar números irracionais. São números escritos na forma de dízimas infinitas e não periódicas, denotados por .
• Números reais que não são números racionais não podem ser representados como razões.

Por exemplo: 3,145248… é um número irracional.

Propriedades dos números irracionais

O conjunto dos números irracionais é um conjunto incontável.

Por exemplo:

Números irracionais: 0,1010010001000010000010000001… (este é um decimal infinito não periódico)

Número de raízes quadradas: √2 (raiz quadrada)

Pi (π): 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288…..

Qual é a diferença entre números racionais e irracionais?

• Números racionais incluem dízimas periódicas não terminais, enquanto números irracionais são dízimas periódicas não terminais.
• Números racionais são apenas frações, enquanto números irracionais têm muitos tipos diferentes de números.
• Números racionais são números contáveis, enquanto números irracionais são números incontáveis.

Relação de conjuntos de números

Símbolos de conjuntos de números:

• N: Conjunto de números naturais
• N*: Conjunto de números naturais diferentes de 0
• Z: Conjunto de inteiros
• P: O conjunto dos números racionais
• I: Conjunto de números irracionais

Temos: R = Q ∪ I.

Conjunto N; Z ; P; R.

Então a relação de inclusão entre os conjuntos de números é: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Exercícios sobre números racionais

Formulário 1: Realizar cálculos envolvendo números racionais

Método de solução: Para resolver exercícios sobre como realizar cálculos relacionados a números racionais, primeiro converta os números racionais em frações e, em seguida, aplique as regras de cálculo com adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais.

Exemplo: Calcular  

Responder:

Formulário 2: Representação de números racionais na reta numérica

Solução: Você precisa determinar se o número racional é um número racional positivo ou um número racional negativo e, em seguida, continuar com os próximos passos:

• Se o número racional a/b for um número racional positivo: Na reta numérica, na direção positiva, divida o comprimento de 1 unidade em b partes iguais. Em seguida, pegue um ponto na direção positiva do eixo Ox, aponte uma parte e determine a posição do número racional a/b.
• Se o número racional a/b for um número racional negativo: Na reta numérica, na direção negativa do eixo, divida o comprimento de 1 unidade em b partes iguais. Em seguida, pegue um ponto na direção negativa do eixo Ox, aponte uma parte e determine a posição do número racional a/b.

Formulário 3: Comparando números racionais

Solução: Converta os números racionais fornecidos em frações com o mesmo denominador positivo e compare os numeradores. Mais avançados, podemos comparar com frações intermediárias para encontrar a resposta.

Formulário 4: Determine se um número racional é negativo, positivo ou 0

Método de solução: Para resolver exercícios do tipo 4, os alunos precisam se basear nas propriedades dos números racionais para determinar se o número racional é negativo, positivo ou 0.

Por exemplo: Dado o número racional x = (a – 25)/29, determine o valor de a de modo que:

• x é negativo
• x é positivo
• x = 0

Responder:

x é um número negativo => (a – 25)/29 < 0=""> a – 25 < 0=""> a <>

x é um número positivo => (a – 25)/29 > 0 => a – 25 > 0 => a > 25

x = 0 => (a – 25)/29 =0 0 => a – 25 = 0 => a = 25

Formulário 5: Encontre números racionais no intervalo de acordo com as condições fornecidas

Solução: Se a questão exigir que se encontre números racionais dentro de um intervalo de acordo com as condições fornecidas, precisamos colocar os números racionais no mesmo numerador ou denominador para encontrar a resposta.

Exemplo: Encontre o valor de m para maior que e menor que

Guia de respostas

Converta frações em denominadores comuns da seguinte maneira:

Denominador comum: 18

De acordo com a questão temos:

Formulário 6: Encontre x com números racionais

Método para resolver problemas de matemática: Para problemas de matemática para encontrar x com números racionais, é necessário realizar a redução do denominador comum e converter x para um lado e os termos restantes para 1. A partir daí, calcule o valor de x

Por exemplo: Encontre x conhecendo x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8

Responder:

x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8

=> x . (2/ 3) = 1/ 8 + 5/ 6

=> x = 46/ 48 : 2/ 3

=> x = 23 . 3 / 24 . 2

=> 23/16

Formulário 7: Encontre um para que a expressão seja um inteiro

Método para resolver problemas de matemática: Para o problema de encontrar a, se o numerador não contiver a, precisamos usar o sinal de divisibilidade. Se o numerador contiver a, use o sinal de divisibilidade ou separe o numerador pelo denominador. Se o problema exigir que você encontre a e b ao mesmo tempo, agrupe a ou b e converta-os para a forma fracionária para cálculo.

Exemplo: Encontre o inteiro a com a condição de que 8/(a – 1) seja um inteiro

Responder:

Condição: a – 1 ≠ 0 => a ≠ 1

Seja a um inteiro => 8 é divisível por (a – 1)

=> (a – 1) é um fator de 8 => U(8) = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}

=> (a – 1) = {-8, -4, -2, -1, 2, 4, 8}

=> a = {-7, -3, -1, 0, 3, 5, 9}

Espero que o artigo acima tenha ajudado você a entender o que são números racionais, o que são números irracionais, tipos de números racionais, o que são símbolos de números racionais e como reconhecer números racionais para resolver problemas facilmente.

Além do conhecimento sobre números irracionais e números racionais acima, você pode consultar alguns outros conhecimentos matemáticos, como frações , números mistos , decimais ...