O que é um número real?

O que são números reais? Quais números estão no conjunto dos números reais? Leia o artigo abaixo para entender melhor esse importante conhecimento matemático.

Número real

• 1. O que é um número real?
• 2. Eixo dos números reais
•  3. Compare números reais
• 3. Propriedades do conjunto dos números reais
• 4. Valor absoluto de um número real
• 5. Exercícios de exemplo sobre números reais

1. O que é um número real?

• Números reais são o conjunto de números racionais e números irracionais.
• Conjunto é o símbolo do conjunto de números reais, constituído de números reais.

• Um número racional é um número escrito como uma fração (a, b ∈ Z, b ≠ 0). Por exemplo 
• O conjunto dos números racionais é denotado por 
• Um número irracional é uma dízima infinita e não periódica. Por exemplo:
• O conjunto dos números irracionais é denotado por 

O conjunto dos números reais abrange a reta numérica.

Por exemplo:

2. Eixo dos números reais

Cada número real é representado por um ponto na reta numérica.

• Por outro lado, cada ponto na reta numérica representa um número real.
• Somente o conjunto dos números reais preenche a reta numérica.

 3. Compare números reais

Método

• Com quaisquer dois números reais x, y, sempre temos x = y ou x < y ou x > y
• Números reais maiores que 0 são chamados de números reais positivos, números reais menores que 1 são chamados de números reais negativos. O número 0 não é um número real positivo nem negativo.
• Comparar números reais positivos é semelhante a comparar números racionais.
• Sendo a e b dois números reais positivos, se a > b então .

Exemplo: Preencha o dígito apropriado no quadrado:

Guia de soluções

a) -7,5(0)8 > -7,513

b) -3,02 <>

c) -0,4(9)854 <>

d) -1,(9)0765 <>

Exemplo: Organize os números reais: em ordem do menor para o maior

Guia de soluções

Organize os números reais em ordem do menor para o maior:

Por exemplo: Prove que:

Com a, b são dois números reais positivos se a > b então

Guia de soluções

Se a > b então

a, b são dois números reais positivos, então a + b > 0

Se a > b então a – b > 0

Considere o produto

Porque a2 – b2 > 0

=> a2 > b2 => dpcm

3. Propriedades do conjunto dos números reais

No conjunto, também definimos as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação, raízes quadradas... E nas operações, os números reais também têm as mesmas propriedades que as operações do conjunto dos números racionais.

No conjunto dos números reais, as operações têm as seguintes propriedades em relação à multiplicação:

• Para todas as propriedades:
• Adicionar 0: 
• Propriedade comutativa: ;
• Propriedades combinadas: 
• Propriedade comutativa: a. b = b. um
• Propriedades associativas: (a. b). c = a. (b. c)
• Propriedades da multiplicação pelo número 1:
• Propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição: a. (b + c) = a. b + a. c
• Para cada número real a ≠ 0, existe um inverso tal que

- Ou seja, os cálculos acima também têm propriedades comutativas e associativas como outros conjuntos de números. E o mesmo vale para subtração, multiplicação, divisão…

Relação entre conjuntos de números

Por exemplo: Execute o cálculo:

Guia de soluções

Por exemplo: Encontre x, sabendo:

Guia de soluções

4. Valor absoluto de um número real

Definição: A distância do ponto a ao ponto 0 na reta numérica é o valor absoluto de um número a (a é um número real). O valor absoluto de um número negativo é ele mesmo, o valor absoluto de um número negativo é seu oposto.

Visão geral:

• Se
• Se
• Se
• Se

Natureza

• O valor absoluto de cada número não é negativo.
• Geral: para todo a ∈ R

Especificamente:

Algumas propriedades

- Dois números que são iguais ou opostos têm valor absoluto igual, e vice-versa, dois números que têm valor absoluto igual são iguais ou opostos.

Visão geral:

- Todo número é maior ou igual ao oposto do seu valor absoluto e ao mesmo tempo menor ou igual ao seu valor absoluto.

Visão geral: e

- De dois números negativos, o menor tem o maior valor absoluto.

Visão geral: Se

- De dois números positivos, o menor tem o menor valor absoluto.

Visão geral: Se

- O valor absoluto de um produto é igual ao produto dos valores absolutos.

Visão geral:

- O valor absoluto de um quociente é igual ao quociente de dois valores absolutos.

Visão geral:

5. Exercícios de exemplo sobre números reais

Exemplo 1: Preencha os espaços em branco com os símbolos apropriados ∈, ∉, ⊂ (…):

3 …. P; 3 …. R ; 3… Eu ; -2,53… Q;

0,2(35) …. EU ; N …. Z ; EU …. R.

Instruir

a) 3 ∈ Q ; 3 ∈ R ; 3 ∉ Eu ; -2,53 ∈ Q

b) 0,2(35) ∉ I ; N ∈ Z ; Eu ⊂ R

Exemplo 2: Encontre os conjuntos

a) Q ∩ I ;
b) R ∩ I.

Instruir

a) Q ∩ I = Ø ;
b) R ∩ I = I.

Exemplo 3: Preencha o dígito apropriado em (…) 

a) – 3,02 < –="" 3,="" …="">

b) – 7,5 … 8 > – 7,513

c) – 0,4 … 854 < –="">

d) -1, … 0765 < –="">

Instruir

a) – 3,02 < –="">
b) – 7.508 > – 7.513 ;
c) – 0,49854 < –="" 0,49826="">
d) -1,90765 < –="">

Exemplo 4: Encontre x, sabendo:

3,2.x + (-1,2).x +2,7 = -4,9;

Instruir

3.2. x + (-1,2).x + 2,7 = -4,9

[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.

2,x + 2,7 = – 4,9.

2.x = – 4,9 – 2,7

2.x = – 7,6

x = -7,6 : 2

x = -3,8

Além de números reais, você pode aprender mais sobre outras definições em matemática, como números quadrados , números irracionais, números racionais , números primos , números naturais ...