Fórmula para calcular a diagonal de um quadrado e a diagonal de um retângulo

Como calcular a diagonal de um quadrado, como calcular a diagonal de um retângulo é muito usado em problemas de matemática e aplicações práticas, como design e construção, corte de custos, medição... Quantrimang.com compilou conhecimento sobre as propriedades de duas diagonais, bem como fórmulas de cálculo, consulte para aplicar nos estudos, na vida e no trabalho.

Índice

• Qual é a diagonal de um quadrado e de um retângulo?
• Como calcular a diagonal de um quadrado
  • Propriedades da diagonal quadrada
  • Fórmula para calcular a diagonal de um quadrado
  • Exemplo de cálculo da diagonal de um quadrado 
• Como calcular a diagonal de um retângulo
  • Propriedades das diagonais de um retângulo
  • Fórmula para calcular a diagonal de um retângulo
  • Exemplo de cálculo da diagonal de um retângulo 
  • Exemplo para provar que um quadrilátero é um retângulo.

Qual é a diagonal de um quadrado e de um retângulo?

A diagonal de um quadrado ou retângulo é a linha que conecta dois cantos opostos. Todo quadrado e retângulo tem duas diagonais de igual comprimento.

Como calcular a diagonal de um quadrado

Propriedades da diagonal quadrada

• As duas diagonais de um quadrado têm o mesmo comprimento, são perpendiculares e se cruzam no ponto médio de cada uma.
• Há um círculo inscrito e um círculo circunscrito e os centros de ambos os círculos coincidem e são a intersecção das duas diagonais do quadrado.
• 1 diagonal dividirá o quadrado em dois triângulos isósceles retângulos.
• A intersecção das bissetrizes dos ângulos, medianas e bissetrizes perpendiculares coincidem todas em um ponto.
• Tem todas as propriedades de um retângulo, paralelogramo e losango.

Fórmula para calcular a diagonal de um quadrado

De acordo com as propriedades de um quadrado, duas diagonais de um quadrado são iguais e uma diagonal de um quadrado dividirá o quadrado em duas partes de áreas iguais, que são dois triângulos retângulos isósceles. Portanto, a diagonal do quadrado é a hipotenusa dos dois triângulos retângulos isósceles.

Então, para calcular a diagonal de um quadrado, você só precisa aplicar o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo.

Suponha que você tenha um quadrado ABCD com lado de comprimento a, a diagonal AC divide o quadrado em dois triângulos retângulos ABC e ACD.

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo isósceles retângulo ABC:

⇒ ⇒

Portanto, a diagonal de um quadrado tem comprimento de lado a:

Exemplo de cálculo da diagonal de um quadrado 

Exemplo 1:  Um quadrado tem um lado de 3 cm. A diagonal desse quadrado é: 6 cm, √18 cm, 5 cm ou 4 cm?

Solução:

a) Aplicando o teorema de Pitágoras no quadrado ABC, temos:

AC² = AB² + BC² = 3² + 3² = 18

=> CA = cm

Portanto, a diagonal do quadrado é √18 cm.

Exemplo 2:

A diagonal de um quadrado é 2dm. O lado desse quadrado é: 1cm, 3/2cm, √2cm ou 4/3cm?

Prêmio:

Aplique o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, mas este exercício fornece o comprimento da diagonal, ou seja, AC = 2 cm, calcule o lado AB.

Temos: AC² = AB² + BC² = 2AB (porque AB = BC)

=> AB² = AC²/2 = 2²/2 = 2

=> AB = √2

Como calcular a diagonal de um retângulo

Um retângulo é um quadrilátero convexo com quatro ângulos retos, é um paralelogramo com duas diagonais iguais.

Propriedades das diagonais de um retângulo

As diagonais de um retângulo têm várias propriedades importantes que são úteis na resolução de problemas envolvendo retângulos e suas diagonais.

• O comprimento da diagonal de um retângulo é a hipotenusa de um triângulo retângulo, portanto é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos dois lados.
• A diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos de áreas iguais. Então, a diagonal de um retângulo é o eixo de simetria do retângulo.
• As duas diagonais de um retângulo são iguais e se cruzam no ponto médio de cada linha, formando 4 triângulos isósceles.

Fórmula para calcular a diagonal de um retângulo

A partir das propriedades da diagonal de um retângulo acima, podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da diagonal de um retângulo.

Suponha que você tenha um retângulo ABCD com comprimento a e largura b, diagonal AC, conforme mostrado abaixo.

Aplicamos o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC:

⇒ ⇒

Portanto, a diagonal de um retângulo de comprimento a e largura b é:

Portanto, o comprimento da diagonal de um retângulo é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos dois lados (comprimento e largura) do retângulo.

Assim, podemos calcular a diagonal de um quadrado ou retângulo simplesmente aplicando o teorema de Pitágoras.

Exemplo de cálculo da diagonal de um retângulo 

Calcule o comprimento da diagonal de um retângulo com comprimento de 10 dm e largura de 5 dm.

Solução:

Seja o comprimento da diagonal do retângulo a (a > 0, dm)

Aplicando o teorema de Pitágoras, o comprimento da diagonal do retângulo é:

a2 = 102 + 52 = 125

=> a = 5√5 dm

Exemplo para provar que um quadrilátero é um retângulo.

As propriedades e a fórmula para calcular a diagonal de um retângulo podem ser aplicadas para resolver alguns problemas que provam que um quadrilátero é um retângulo.

O quadrilátero ABCD tem duas diagonais perpendiculares entre si. Sejam E, F, G, H os pontos médios dos lados AB, BC, CD, AD, respectivamente. Que tipo de formato é o quadrilátero EFGH? Por que?

Solução:

Como E é o ponto médio de AB, H é o ponto médio de AD

=> EH é a mediana do triângulo ABD.

(1)

Como F é o ponto médio de BC, G é o ponto médio de CD

=> FG é a mediana do triângulo BCD

(2)

De (1) e (2) =>

Considere o quadrilátero EFGH.

FG // EH

FG = EH

=> EFGH é um paralelogramo (sinal de reconhecimento)

Por outro lado:

Também tem:

E é o ponto médio de AB, F é o ponto médio de BC.

=> EF é a mediana do triângulo ABC

=> EF // CA

Mas EH ⊥ AC => EH ⊥ EF

O paralelogramo EFGH tem um ângulo reto

=> EFGH é um retângulo