Fórmula para calcular o volume de um sólido de revolução e exemplos ilustrativos

O que é um bloco rotativo? Como calcular o volume de um sólido de revolução?

Um sólido de revolução é uma forma criada pela rotação de um plano em torno de um eixo fixo, como um cone de revolução, um cilindro de revolução, uma esfera de revolução, etc. Abaixo está a fórmula para calcular o volume de um sólido de revolução. Consulte-a.

Índice

• Calcular o volume de um bloco circular girado em torno do eixo Ox
• Calcular o volume de um bloco circular girado em torno do eixo Oy
• Exemplo de cálculo de volume de sólido de revolução

Calcular o volume de um bloco circular girado em torno do eixo Ox

Se o bloco circular gira em torno do eixo Ox, as seguintes fórmulas podem ser aplicadas para calcular o volume do bloco circular giratório:

Caso 1 : Bloco circular rotativo criado por:

• Linha y= f(x)
• eixo x y=0
• x=a; x=b

Então, a fórmula para calcular o volume é:

Caso 2 : O bloco giratório é criado por:

• Linha y= f(x)
• Linha y= g(x)
• x=a; x=b

Então a fórmula para calcular o volume de um sólido de revolução será:

com

Calcular o volume de um bloco circular girado em torno do eixo Oy

Se o bloco circular gira em torno do eixo Oy, as seguintes fórmulas podem ser aplicadas para calcular o volume do bloco circular giratório:

Caso 1 : O bloco rotativo é criado por:

• Linha x=g(y)
• Eixo vertical (x=0)
• y=c; y=d

Então a fórmula para calcular o volume de um sólido de revolução será:

Caso 2 : O bloco rotativo é criado por

• Linha x=f(y)
• A equação x=g(y)
• y=c; y=d

Então o volume do sólido de revolução será:

com

Tabela resumo de fórmulas para cálculo do volume de um sólido de revolução:

1. Vx gerado pela área S girando em torno de Ox:

Receita :

2. Vx gerado pela área S girando em torno de Ox:

Receita :

Exemplo de cálculo de volume de sólido de revolução

Exemplo 1: 

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da figura plana limitada pela curva y = senx, o eixo x e duas retas x=0, x=π (desenho) em torno do eixo Ox.

Solução

Aplicando a fórmula do teorema acima temos

Exemplo 2: 

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da figura plana delimitada pela curva e pelo eixo x em torno do eixo x.

Prêmio:

Nós vemos:

Para todo x, esta é, portanto, a equação de um semicírculo com centro O e raio R = A acima do eixo Ox. Ao girar em torno do eixo Ox, a forma plana formará uma esfera com centro O e raio R = A (figura). Então sempre temos

 

Portanto, com esse tipo de problema, não precisamos escrever a fórmula de integração, mas podemos concluir com base na fórmula para calcular o volume de uma esfera.

Exemplo 3: 

Calcule o volume do objeto situado entre dois planos x = 0 e x = 1, sabendo que a seção transversal do objeto cortada pelo plano (P) perpendicular ao eixo Ox no ponto de abcissa x(0≤x≤1) é um retângulo com dois lados de comprimento x e ln(x2+1).

Prêmio: 

Como a seção transversal é retangular, a área da seção transversal é:

Temos o volume a calcular como

Exemplo 4: Dada uma figura plana limitada pelas retas y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 gira em torno do eixo Ox. Calcule o volume do sólido resultante da revolução.

Prêmio:

As coordenadas da intersecção da reta x = 1 com y = x e y = 3x são os pontos C(1;1) e B(3;1). As coordenadas da intersecção da reta y = 3x com y = x são O(0;0).

Portanto, o volume do sólido em rotação a ser calculado é:

Exemplo 5 : Dada uma figura plana limitada por retas y = 2x2; y2 = 4x gira em torno do eixo Ox. Calcule o volume do sólido resultante da revolução.

Prêmio:

Com tempo equivalente. As coordenadas da intersecção da reta com são os pontos O(0;0) e A(1;2).

Portanto, o volume do sólido em rotação a ser calculado é:

Para problemas que exigem o cálculo do volume de um sólido de revolução, basta utilizar a fórmula correta para cada caso e prestar atenção na hora de determinar o limite para conseguir resolvê-lo. Boa sorte!