Qual é a fórmula para calcular combinações e permutações? O artigo orientará você sobre como calcular combinações e outras fórmulas relacionadas.
Permutações e combinações são os conceitos mais básicos em matemática que envolvem a seleção de itens de um grupo ou conjunto.
Índice
Dado um conjunto A com n elementos e dado um inteiro k, (1 ≤ k ≤ n). Cada subconjunto de A com k elementos é chamado de combinação k-fold de n elementos de A.
Fórmula de combinação K de n
Fórmula para as propriedades de uma combinação:
Exemplos de combinatória
Exemplo 1:
Um grupo de 12 estudantes. Quantas maneiras existem:
a) Escolha 2 representantes para o grupo
b) Escolha 2 pessoas e atribua-lhes as posições de líder de equipe e vice-líder de equipe.
c) Divida o grupo em 2 grupos, nos quais o líder e o vice-líder do grupo estejam em grupos diferentes.
Solução
a) Escolha 2 amigos entre 12 amigos que são combinações de 2 de 12: C122 = 66 maneiras.
b) Escolha 2 pessoas e atribua a elas a posição de combinar 2 de 12: A122 = 132 maneiras.
c) Divida o grupo em 2 grupos, cada grupo com 6 membros.
Em que o líder da equipe e o vice-líder da equipe estão em grupos diferentes.
Escolha 5 amigos para ficarem no mesmo grupo que o líder da equipe dentre os 10 amigos restantes: C105 = 252 maneiras.
Escolha 5 pessoas para fazerem parte do mesmo grupo que o vice-líder, dentre as 5 pessoas restantes: C55 = 1 via.
Portanto, há 252,1 = 252 maneiras.
Dado um conjunto A com n elementos e dado um inteiro k, (1 ≤ k ≤ n). Quando pegamos k elementos de A e os organizamos em uma ordem, obtemos uma perturbação k vezes maior de n elementos de A (chamada de perturbação n vezes maior de k de A).
O número de k-permutações de um conjunto com n elementos é:
Fórmula de permutação:
Por exemplo:
Dos algarismos de 0 a 9. Quantas maneiras existem para formar um número natural tal que:
a) Número com 6 dígitos diferentes
b) Um número com 6 dígitos diferentes e divisível por 10
c) Números ímpares têm 6 dígitos diferentes.
Solução
a) Faça um número com 6 dígitos diferentes
Escolha o primeiro dígito dos números de 1 a 9: há 9 maneiras de escolher
Os dígitos restantes são a 5ª permutação dos 9 números restantes (exceto o primeiro dígito) com A95
Portanto, há 9A95 = 136080 números.
b) Um número com 6 dígitos diferentes e divisível por 10
Escolha o dígito da unidade: há 1 maneira de escolher o dígito 0
Escolha os dígitos restantes como a 5ª permutação dos 9 números restantes (exceto o dígito 0) com A95
Portanto, há A95 = 15120 números.
c) Seja o número 
um número ímpar com 6 algarismos diferentes formados pelos algarismos de 0 a 9.
Porque é ímpar, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}
Escolha f: existem 5 maneiras de escolher
Selecione um dos dígitos {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: existem 8 maneiras de escolher
Escolha b, c, d, e como o complexo 4 dos 8 dígitos restantes (exceto f e a): temos A84
Portanto, há 5,8A84 = 67200 números.
a) Definição:
- Dado um conjunto A de n elementos (n ≥ 1).
Cada resultado de uma ordenação de n elementos de um conjunto A é chamado de permutação de n elementos.
- Nota: As duas permutações de n elementos diferem apenas na ordem de arranjo.
b) Número de permutações:
- O símbolo Pn é o número de permutações de n elementos.
Fórmula de permutação:
Pn = n(n – 1)…2,1 = n!
Convenção: 0! = 1; 1! = 1.
Por exemplo: organize 10 pessoas, incluindo 5 meninos e 5 meninas, em um banco. Quantas maneiras existem para organizar de modo que:
a) Classificar qualquer
b) Os meninos sentam-se um ao lado do outro
c) Meninos e meninas sentam-se alternadamente.
Solução
a) O número de maneiras de organizar 10 pessoas em um banco é uma permutação de 10:10!
b) Coloque os meninos sentados um ao lado do outro. Colocamos 5 meninos em um "pacote": são 5! como organizar dentro do "pacote"
Então organize 5 meninas juntas em um "grupo" em um banco com: 6! como organizar
Então são 5! . 6! = 86400 maneiras de organizar os meninos para sentarem um ao lado do outro.
c) Suponha que 10 pessoas estejam dispostas em bancos numerados de 1 a 10.
Para alternar entre meninos e meninas
+ Caso 1: Os meninos sentam-se em posições ímpares, as meninas sentam-se em posições pares
Número de maneiras de organizar os meninos: 5!
Número de maneiras de organizar as meninas: 5!
Então são 5! . 5! como organizar
+ Caso 2: Os meninos sentam-se em posições pares, as meninas sentam-se em posições ímpares
Semelhante ao caso acima, temos 5! . 5! como organizar
Então são 2,5! . 5! = 28800 maneiras de organizar.
Diferença entre permutação e combinação
A diferença entre permutação e combinação pode ser entendida através da tabela a seguir:
|
Permutação |
Combinação |
|
Em permutações, a ordem de arranjo é muito importante. Por exemplo, AB e BA são combinações diferentes. |
Na combinação, a ordem de arranjo não importa. Por exemplo, AB e BA são combinações semelhantes. |
|
Uma permutação é usada quando é necessário classificar ou ordenar diferentes tipos de matéria. |
Combinações são usadas quando você precisa organizar o mesmo tipo de coisas. |
|
Permutação de duas coisas a partir de três coisas dadas a, b, c são ab, ba, bc, cb, ac, ca. |
Uma combinação é uma junção de duas coisas a partir de três coisas dadas. a, b, c são ab, bc, ca. |
Você pode visitar a seção Educação e Aprendizagem do Quantrimang.com para aprender mais sobre outras fórmulas matemáticas.
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