Fórmulas para combinações, permutações e permutações

Qual é a fórmula para calcular combinações e permutações? O artigo orientará você sobre como calcular combinações e outras fórmulas relacionadas.

Permutações e combinações são os conceitos mais básicos em matemática que envolvem a seleção de itens de um grupo ou conjunto.

• Permutação é a organização de itens em ordem de seleção de um determinado grupo.
• Combinação é a seleção de itens sem levar em conta a ordem.

Índice

• Fórmula combinatória
• Fórmula de permutação
• Permutação 

Fórmula combinatória

Dado um conjunto A com n elementos e dado um inteiro k, (1 ≤ k ≤ n). Cada subconjunto de A com k elementos é chamado de combinação k-fold de n elementos de A.

Fórmula de combinação K de n

Fórmula para as propriedades de uma combinação:

Exemplos de combinatória

Exemplo 1: 

Um grupo de 12 estudantes. Quantas maneiras existem:

a) Escolha 2 representantes para o grupo

b) Escolha 2 pessoas e atribua-lhes as posições de líder de equipe e vice-líder de equipe.

c) Divida o grupo em 2 grupos, nos quais o líder e o vice-líder do grupo estejam em grupos diferentes.

Solução

a) Escolha 2 amigos entre 12 amigos que são combinações de 2 de 12: C122 = 66 maneiras.

b) Escolha 2 pessoas e atribua a elas a posição de combinar 2 de 12: A122 = 132 maneiras.

c) Divida o grupo em 2 grupos, cada grupo com 6 membros.

Em que o líder da equipe e o vice-líder da equipe estão em grupos diferentes.

Escolha 5 amigos para ficarem no mesmo grupo que o líder da equipe dentre os 10 amigos restantes: C105 = 252 maneiras.

Escolha 5 pessoas para fazerem parte do mesmo grupo que o vice-líder, dentre as 5 pessoas restantes: C55 = 1 via.

Portanto, há 252,1 = 252 maneiras.

Fórmula de permutação

Dado um conjunto A com n elementos e dado um inteiro k, (1 ≤ k ≤ n). Quando pegamos k elementos de A e os organizamos em uma ordem, obtemos uma perturbação k vezes maior de n elementos de A (chamada de perturbação n vezes maior de k de A).

O número de k-permutações de um conjunto com n elementos é:

Fórmula de permutação:

• Algumas convenções: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
• Características: Esta é uma classificação ordenada e o número de elementos a serem classificados é k: 0 ≤ k ≤ n.

Por exemplo: 

Dos algarismos de 0 a 9. Quantas maneiras existem para formar um número natural tal que:

a) Número com 6 dígitos diferentes

b) Um número com 6 dígitos diferentes e divisível por 10

c) Números ímpares têm 6 dígitos diferentes.

Solução

a) Faça um número com 6 dígitos diferentes

Escolha o primeiro dígito dos números de 1 a 9: há 9 maneiras de escolher

Os dígitos restantes são a 5ª permutação dos 9 números restantes (exceto o primeiro dígito) com A95

Portanto, há 9A95 = 136080 números.

b) Um número com 6 dígitos diferentes e divisível por 10

Escolha o dígito da unidade: há 1 maneira de escolher o dígito 0

Escolha os dígitos restantes como a 5ª permutação dos 9 números restantes (exceto o dígito 0) com A95

Portanto, há A95 = 15120 números.

c) Seja o número um número ímpar com 6 algarismos diferentes formados pelos algarismos de 0 a 9.

Porque é ímpar, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

Escolha f: existem 5 maneiras de escolher

Selecione um dos dígitos {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: existem 8 maneiras de escolher

Escolha b, c, d, e como o complexo 4 dos 8 dígitos restantes (exceto f e a): temos A84

Portanto, há 5,8A84 = 67200 números.

Permutação

a) Definição:

- Dado um conjunto A de n elementos (n ≥ 1).

Cada resultado de uma ordenação de n elementos de um conjunto A é chamado de permutação de n elementos.

- Nota: As duas permutações de n elementos diferem apenas na ordem de arranjo.

b) Número de permutações:

- O símbolo Pn é o número de permutações de n elementos.

Fórmula de permutação:

Pn = n(n – 1)…2,1 = n!

Convenção: 0! = 1; 1! = 1.

Por exemplo:  organize 10 pessoas, incluindo 5 meninos e 5 meninas, em um banco. Quantas maneiras existem para organizar de modo que:

a) Classificar qualquer

b) Os meninos sentam-se um ao lado do outro

c) Meninos e meninas sentam-se alternadamente.

Solução

a) O número de maneiras de organizar 10 pessoas em um banco é uma permutação de 10:10!

b) Coloque os meninos sentados um ao lado do outro. Colocamos 5 meninos em um "pacote": são 5! como organizar dentro do "pacote"

Então organize 5 meninas juntas em um "grupo" em um banco com: 6! como organizar

Então são 5! . 6! = 86400 maneiras de organizar os meninos para sentarem um ao lado do outro.

c) Suponha que 10 pessoas estejam dispostas em bancos numerados de 1 a 10.

Para alternar entre meninos e meninas

+ Caso 1: Os meninos sentam-se em posições ímpares, as meninas sentam-se em posições pares

Número de maneiras de organizar os meninos: 5!

Número de maneiras de organizar as meninas: 5!

Então são 5! . 5! como organizar

+ Caso 2: Os meninos sentam-se em posições pares, as meninas sentam-se em posições ímpares

Semelhante ao caso acima, temos 5! . 5! como organizar

Então são 2,5! . 5! = 28800 maneiras de organizar.

Diferença entre permutação e combinação

A diferença entre permutação e combinação pode ser entendida através da tabela a seguir:

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