O que é uma função par? O que é uma função ímpar?

O que é uma função par ? Não apenas funções pares , funções ímpares também são de grande interesse. Vamos aprender sobre esses dois conceitos juntos!

Funções em matemática podem ser classificadas em funções pares e ímpares com base em sua simetria ao longo do eixo. Uma função par é uma função que permanece constante quando sua entrada é negada (a saída é a mesma para x e -x), refletindo simetria em torno do eixo y. Por outro lado, uma função ímpar se torna negativa quando sua entrada é negada, exibindo simetria em torno da origem. Uma função f é par se f(-x) = f(x), para todo x no domínio de f. Uma função f é uma função ímpar se f(-x) = -f(x) para todos os x no domínio de f, ou seja:

• Função par:f(-x) = f(x)
• Função ímpar:f(-x) = -f(x)

Neste artigo, discutiremos em detalhes sobre funções pares e ímpares, definição de funções pares e ímpares, funções pares e ímpares em trigonometria, gráfico de funções pares e ímpares e muitos outros conteúdos e informações que você precisa saber.

Índice

• O que é uma função par?
• O que é uma função ímpar?
• Gráfico de funções pares e ímpares
• O que é uma função que não é nem par nem ímpar?
• Lembre-se de uma função par-ímpar comum
• Como determinar funções pares e ímpares
• Exercícios sobre o exame da paridade de funções

O que é uma função par?

A função y = f(x) com domínio D é chamada de função par se ela satisfaz as duas condições a seguir:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Por exemplo: A função y = x² é uma função par.

O que é uma função ímpar?

A função y = f ( x ) com domínio D é chamada de função ímpar se ela satisfaz as duas condições a seguir:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

Exemplo: Exemplo: A função y = x é uma função ímpar.

Atenção. A primeira condição é chamada de condição de simetria de domínio em torno de 0.

Por exemplo, D = (-2;2) é um conjunto simétrico em relação a 0, enquanto o conjunto D' = [-2;3] não é simétrico em relação a 0.

O conjunto R = (−∞;+∞) é um conjunto simétrico.

Nota: Uma função não precisa ser par ou ímpar.

Por exemplo: A função y = 2x + 1 não é uma função par nem ímpar porque:

Em x = 1 temos f(1) = 2,1 + 1 = 3

Em x = -1 temos f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ Os dois valores f(1) e f(-1) não são iguais nem opostos.

Gráfico de funções pares e ímpares

Até mesmo funções têm gráficos que tomam o eixo y como eixo de simetria.

A função ímpar tem um gráfico com origem O como centro de simetria.

O que é uma função que não é nem par nem ímpar?

Nem toda função pode ser definida como par ou ímpar. Algumas funções não são pares nem ímpares, como: y=x²+x, y=tan(x-1),…

Além disso, há um tipo especial de função que é par e ímpar. Por exemplo, a função y=0

Lembre-se de uma função par-ímpar comum

Função uniforme

y = ax2 + bx + c se e somente se b = 0

Função quadrática

y = cosx

y = f(x)

Função ímpar

y = ax + b se e somente se b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d se e somente se b = d = 0

y = senx; y = tanx; y = cotx

Alguns outros casos

F(x) é uma função par e tem uma derivada em seu domínio, então sua derivada é uma função ímpar.

F(x) é uma função ímpar e tem uma derivada em seu domínio, então sua derivada é uma função par.

Uma função polinomial de grau ímpar não é uma função par.

Funções polinomiais de grau par não são funções ímpares.

Como determinar funções pares e ímpares

Para determinar a função ímpar-par, realizamos os seguintes passos:

Etapa 1: Encontre o domínio: D

Se ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Vá para a etapa três

Se ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D, então a função não é nem par nem ímpar.

Etapa 2: Substitua x por -x e calcule f(-x)

Etapa 3: Examine o sinal (compare f(x) e f(-x)):

° Se f(-x) = f(x) então a função f é par

° Se f(-x) = -f(x) então a função f é ímpar

° Outros casos: a função f não tem paridade

Exercícios sobre o exame da paridade de funções

Lição 4, página 39, livro de Álgebra 10: Considere as propriedades pares-ímpares das seguintes funções:

a) y = |x|;

b) y = (x + 2)2;

c) y = x3 + x;

d) y = x2 + x + 1.

Prêmio

a) Seja y = f(x) = |x|.

° TXĐ: D = R então para ∀x ∈ D então –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).

→ Então a função y = |x| é uma função par.

b) Seja y = f(x) = (x + 2)2.

° TXĐ: D = R então para ∀x ∈ D então –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).

→ Portanto a função y = (x + 2)2 não é nem par nem ímpar.

c) Seja y = f(x) = x3 + x.

° TXĐ: D = R então para ∀x ∈ D então –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ Então y = x3 + x é uma função ímpar.

d) Seja y = f(x) = x2 + x + 1.

° TXĐ: D = R então para ∀x ∈ D então –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ Portanto, a função y = x2 + x + 1 não é nem par nem ímpar.

Existe uma função definida em R que é ao mesmo tempo par e ímpar?...

Prêmio:

É fácil ver que a função y = 0 é uma função definida em R, uma função par e ímpar.

Suponha que a função y = f(x) seja qualquer função com tais propriedades. Então para cada x em R temos:

F (–x) = f (x) (porque f é uma função par);

F (–x) = – f (x) (porque f é uma função ímpar).

Disto podemos deduzir que para cada x em R, f(x)=−f(x), o que significa que f(x)=0. Portanto, y=0 é a única função definida em R, que é uma função par e ímpar.

Perguntas frequentes sobre funções pares e ímpares

O que são funções pares e ímpares?

Se f(x) = f(−x) para todos os x em seus domínios, então funções pares são simétricas em relação ao eixo y. Funções ímpares são simétricas em relação à origem, o que significa que para todo x em seu domínio, f(−x) = −f(x).

Como saber se uma função é par ou ímpar?

Uma função é par se f(-x) = f(x), e é ímpar se f(-x) = -f(x) para todos os elementos no domínio de f. Se não satisfizer nenhuma dessas propriedades, então não é nem ímpar nem par.

Qual é a diferença entre funções periódicas pares e ímpares?

Diferença entre funções periódicas pares e ímpares: Uma função par satisfaz f(−x) = f(x) para todos os x no domínio, enquanto uma função ímpar satisfaz f(−x) = −f(x).

Além das funções pares e ímpares, você pode aprender outros conhecimentos matemáticos importantes, como números quadrados , números irracionais, números racionais , números primos , números naturais ... na seção Educação do Quantrimang.com.